Modèle de volatilité stochastique

Modèle de volatilité stochastique

Sur le plan conceptuel, dans certains marchés, la volatilité augmente lorsque les prix augmentent (par exemple, les matières premières), donc γ > 1 {displaystyle gamma > 1}. Dans d`autres marchés, la volatilité tend à augmenter à mesure que les prix chutent, modélisés avec γ < 1 {displaystyle gamma < 1}. Comme pour le mécanisme de troncation complet décrit ci-dessus, le terme de volatilité apparaissant dans la discrétisation de l`Asset SDE a également été tronqué et donc $ nu_i $ est remplacé par $ nu_i ^ {+} $. Le chemin de volatilité sera discrétisé en incréments de temps constants de $ Delta t $, avec la volatilité mise à jour, $ nu_{i + 1} $ donné comme une fonction explicite de $ nu_i $: la volatilité stochastique se rapporte au fait que la volatilité des prix des actifs n`est pas constante, comme supposé dans le modèle de tarification des options Black Scholes. La modélisation de la volatilité stochastique tente de corriger ce problème avec Black Scholes en permettant à la volatilité de varier au fil du temps. Les modèles de volatilité stochastique sont une approche pour résoudre une lacune du modèle Black – Scholes. En particulier, les modèles basés sur Black-Scholes supposent que la volatilité sous-jacente est constante sur la durée de vie de la dérivée, et n`est pas affectée par les variations du niveau des prix de la sécurité sous-jacente. Toutefois, ces modèles ne peuvent expliquer les caractéristiques observées à long terme de la surface de volatilité implicite, telles que le sourire à la volatilité et l`inclinaison, qui indiquent que la volatilité implicite tend à varier en fonction du prix d`exercice et de l`expiration. En supposant que la volatilité du prix sous-jacent est un processus stochastique plutôt qu`une constante, il devient possible de modéliser les dérivés plus précisément. Afin de faire le prix d`une option d`appel à la vanille européenne dans le modèle de volatilité stochastique Heston, nous devrons générer de nombreux chemins d`actifs, puis calculer la rémunération moyenne actualisée sans risque. Ce sera notre prix d`option. Une alternative à l`étalonnage est l`estimation statistique, ce qui représente l`incertitude des paramètres. De nombreuses méthodes fréquentiste et bayésiennes ont été proposées et mises en œuvre, typiquement pour un sous-ensemble des modèles susmentionnés.

La liste suivante contient des packages d`extension pour le logiciel statistique open source R qui ont été spécifiquement conçus pour l`estimation de l`hétérokedasticité. Les trois premiers répondent aux modèles de type GARCH avec volatilités déterministes; la quatrième traite de l`estimation de la volatilité stochastique. Jusqu`à ce point, nous avons évalué toutes nos options sous l`hypothèse que la volatilité, $ sigma $, de l`actif sous-jacent a été constante au cours de la durée de vie de l`option. En réalité, les marchés financiers ne se comportent pas de cette façon. Les actifs existent sous des régimes de marché où leur volatilité peut varier d`une période à l`autre. La crise financière 2007-2008 et le crash éclair de mai sont de bons exemples de périodes de forte volatilité du marché. Ici, (r ) est la série de retours quotidiens et (s ) est le processus de volatilité latente du journal. À partir d`une approche de volatilité constante, supposons que le prix de l`actif sous-jacent du dérivé suive un modèle standard pour le mouvement brownien géométrique: une fois que nous avons deux vecteurs de tirage au sort uniforme, il est possible d`utiliser la classe StandardNormalDistribution, décrits dans l`article sur les distributions statistiques en C++ pour créer deux nouveaux vecteurs contenant des tirages aléatoires normaux standard-exactement ce dont nous avons besoin pour la volatilité et la simulation de trajectoire d`actifs! Le mot «stochastique» fait référence à quelque chose qui est déterminé aléatoirement et qui peut ne pas être prédit avec précision. Dans le contexte de la modélisation stochastique, il se réfère à des valeurs successives d`une variable aléatoire qui ne sont pas indépendantes. Parmi les exemples de modèles de volatilité stochastique figurent le modèle Heston, le modèle SABR et le modèle GARCH.

La caractéristique principale du modèle de SABR est de pouvoir reproduire l`effet de sourire du sourire de volatilité.


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